EL teorema de Tales

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra...

Parece solemne, ¿no?, este teorema...¡mirad esta demostración!

Procesos y causalidad...

Processes and Causality

by

John F. Sowa

Those who make causality one of the original uralt elements in the universe or one of the fundamental categories of thought ¾ of whom you will find that I am not one ¾ have one very awkward fact to explain away. It is that men's conceptions of a cause are in different stages of scientific culture entirely different and inconsistent. The great principle of causation which, we are told, it is absolutely impossible not to believe, has been one proposition at one period in history and an entirely disparate one at another is still a third one for the modern physicist. The only thing about it which has stood... is the name of it.
Charles Sanders Peirce, Reasoning and the Logic of Things
The attempt to "analyze" causation seems to have reached an impasse; the proposals on hand seem so widely divergent that one wonders whether they are all analyses of one and the same concept.

Jaegwon Kim, "Causation"

Abstract:

In modern physics, the fundamental laws of nature are expressed in continuous systems of partial differential equations. Yet the words and concepts that people use in talking and reasoning about cause and effect are expressed in discrete terms that have no direct relationship to the theories of physics. As a result, there is a sharp break between the way that physicists characterize the world and the way that people usually talk about it. Yet all concepts and theories of causality, even those of modern physics, are only approximations to the still incompletely known principles of causation that govern the universe. For certain applications, the theories proposed by philosophers, physicists, and engineers may be useful approximations. Even "commonsense" theories that have never been formalized can be adequate guides for people to carry on their daily lives. To accommodate the full range of possible theories, whether formal or informal, scientific or rule of thumb, this paper proposes a continuum of law-governed processes, which bridge the gap between a totally random chaos and a totally predictable determinism. Various theories of causality can be interpreted according to the kinds of laws they assume and the tightness of the constraints they impose.




Contents:




1. Thinking and Reasoning about Causality




2. Continuous Processes
3. Discrete Processes
4. Procedures and Process Types
5. Reasoning about Causality
6. Lattice of Theories
7. Efficient Cause, Final Cause, and Chance
References







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Cómo crear un laberinto

¿Encontraría al Mago?

A veces, encontramos sin buscar. Vamos atraídos por algo más fuerte que la razón, de manera casi mágica, hacia aquello que debe estar en nuestras manos. Como una suerte de conspiración cósmica, los libros, los objetos, las situaciones y las personas aparecen en los lugares más insospechados y en los momentos más extremos. Las pruebas de la vida llegan sin avisar y, después o durante estos momentos, también llegan las lecciones. Definitivamente, las casualidades no existen...como si unas manos invisibles trenzaran con infinita paciencia una tupida red, como si alguna inalcanzable Penélope tejiera y destejiera esos encuentros a nuestras espaldas, como si alguien o algo nos pusiera la mano en nuestro hombro y nos empujara suavemente hacia a aquello a lo que tenemos que llegar para poder entender, para poder vislumbrar entre la maleza las lecciones que nos depara la vida...¿Encontraré al Mago?...quizás si me asomo a alguno de estos puentes que tiende la vida...quizás en algún rincón de este laberinto loco...quizás.

Autor: Francisco Hurtado (http://yo1975spain.spaces.live.com/default.aspx)

Rayuela, Julio Cortázar, capítulo 1:

¿Encontraría a la Maga? Tantas veces me había bastado asomarme, viniendo por la rue de Seine, al arco que da al Quai de Conti, y apenas la luz de ceniza y olivo que flota sobre el río me dejaba distinguir las formas, ya su silueta delgada se inscribía en el Pont des Arts, a veces andando de un lado a otro, a veces detenida en el pretil de hierro, inclinada sobre el agua. Y era tan natural cruzar la calle, subir los peldaños del puente, entrar en su delgada cintura y acercarme a la Maga que sonreía sin sorpresa, convencida como yo de que un encuentro casual era lo menos casual en nuestras vidas, y que la gente que se da citas precisas es la misma que necesita papel rayado para escribirse o que aprieta desde abajo el tubo de dentífrico.Pero ella no estaría ahora en el puente. Su fina cara de translúcida piel se asomaría a viejos portales en el ghetto del Marais, quizá estuviera charlando con una vendedora de papas fritas o comiendo una salchicha caliente en el boulevard de Sebastopol. De todas maneras subí hasta el puente, y la Maga no estaba. Ahora la Maga no estaba en mi camino, y aunque conocíamos nuestros domicilios, cada hueco de nuestras dos habitaciones de falsos estudiantes en París, cada tarjeta postal abriendo una ventanita Braque o Ghirlandaio o Max Ernst contra las molduras baratas y los papeles chillones, aun así no nos buscaríamos en nuestras casas. Preferíamos encontrarnos en el puente, en la terraza de un café, en un cine-club o agachados junto a un gato en cualquier patio del barrio latino. Andábamos sin buscarnos pero sabiendo que andábamos para encontrarnos.

Oh Maga, en cada mujer parecida a vos se agolpaba como un silencio ensordecedor, una pausa filosa y cristalina que acababa por derrumbarse tristemente, como un paraguas mojado que se cierra. Justamente un paraguas, Maga, te acordarías quizá de aquel paraguas viejo que sacrificamos en un barranco del Parc Montsouris, un atardecer helado de marzo. Lo tiramos porque lo habías encontrado en la Place de la Concorde, ya un poco roto, y lo usaste muchísimo, sobre todo para meterlo en las costillas de la gente en el metro y en los autobuses, siempre torpe y distraída y pensando en pájaros pinto o en un dibujito que hacían dos moscas en el techo del coche, y aquella tarde cayó un chaparrón y vos quisiste abrir orgullosa tu paraguas cuando entrábamos en el parque, y en tu mano se armó una catástrofe de relámpagos y nubes negras, jirones de tela destrozada cayendo entre destellos de varillas desencajadas, y nos reíamos como locos mientras nos empapábamos, pensando que un paraguas encontrado en una plaza debía morir dignamente en un parque, no podía entrar en el ciclo innoble del tacho de basura o del cordón de la vereda; entonces yo lo arrollé lo mejor posible, lo llevamos hasta lo alto del parque, cerca del puentecito sobre el ferrocarril, y desde allá lo tiré con todas mis fuerzas al fondo de la barranca de césped mojado mientras vos proferías un grito donde vagamente creí reconocer una imprecación de walkiria. Y en el fondo del barranco se hundió como un barco que sucumbe al agua verde, al agua verde y procelosa, a la mer qui est plus félonesse en été qu'en hiver, a la ola pérfida, Maga, según enumeraciones que detallamos largo rato, enamorados de Joinville y del parque, abrazados y semejantes a árboles mojados o a actores de cine de alguna pésima película húngara. Y quedó entre el pasto, mínimo y negro, como un insecto pisoteado. Y no se movió, ninguno de sus resortes se estiraba como antes. Terminado. Se acabó. Oh Maga, y no estábamos contentos.¿Qué venía yo a hacer al Pont des Arts? Me parece que ese jueves de diciembre tenía pensado cruzar a la villa derecha y beber vino en el cafecito de la rue des Lombards donde madame Leonie me mira la palma de la mano y me anuncia viajes y sorpresas. Nunca te llevé a que madame Leonie te mirara la palma de la mano, a lo mejor tuve miedo de que leyera en tu mano alguna verdad sobre mí, porque fuiste siempre un espejo terrible, una espantosa máquina de repeticiones, y lo que llamamos amarnos fue quizá que yo estaba de pie delante de vos, con una flor amarilla en la mano, y vos sostenías dos velas verdes y el tiempo soplaba contra nuestras caras una lenta lluvia de renuncias y despedidas y tickets de metro. De manera que nunca te llevé a que madame Leonie, Maga; y sí, porque me lo dijiste, que a vos no te gustaba que yo te viese entrar en la pequeña librería de la rue de Verneuil, donde un anciano agobiado haca miles de fichas y sabe todo lo que puede saberse sobre historiografía. Ibas allá a jugar con un gato, y el viejo te dejaba entrar y no te hacía preguntas, contento de que a veces le alcanzaras algún libro de los estantes más altos. Y te calentabas en su estufa de gran caño negro y no te gustaba que yo supiera que ibas a ponerte al lado de esa estufa. Pero todo esto había que decirlo en su momento, solo que era difícil precisar el momento de una cosa, y aun ahora, acodado en el puente, viendo pasar una pinaza color borra vino, hermosísima como una gran cucaracha reluciente de limpieza, con una mujer de delantal blanco que colgaba ropa en un alambre de la proa, mirando sus ventanillas pintadas de verde con cortinas Hansel y Gretel, aun ahora, Maga, me preguntaba si este rodeo tenía sentido, ya que para llegar a la rue des Lombards me hubiera convenido más cruzar el Pont Saint-Michel y el Pont au Change.

Pero si hubieras estado ahí esa noche, como tantas otras veces, yo habría sabido que el rodeo tenía un sentido, y ahora en cambio envilecía mi fracaso llamándolo rodeo. Era cuestión, después de subirme el cuello de la canadiense, de seguir por los muelles hasta entrar en esa zona de grandes tiendas que se acaba en el Chatelet, pasar bajo la sombra violeta de la Tour Saint-Jacques y subir por mi calle pensando en que no te había encontrado y en madame Leonie.Sé que un día llegué a París, sé que estuve un tiempo viviendo de prestado, haciendo lo que otros hacen y viendo lo que otros ven. Sé que salías de un café de la rue du Cherche-Midi y que nos hablamos. Esa tarde todo anduvo mal, porque mis costumbres argentinas me prohibían cruzar continuamente de una vereda a otra para mirar las cosas más insignificantes en las vitrinas apenas iluminadas de unas calles que ya no recuerdo. Entonces te seguía de mala gana, encontrándote petulante y malcriada, hasta que te cansaste de no estar cansada y nos metíamos en un café del Boul Mich y de golpe, entre dos medialunas, me contaste un gran pedazo de tu vida.Cómo podía yo sospechar que aquello que parecía tan mentira era verdadero, un Figari con violetas de anochecer, con caras lívidas, con hambre y golpes en los rincones. Más tarde te creí, más tarde hubo razones, hubo madame Leonie que mirándome la mano que había dormido con tus senos me repitió casi tus mismas palabras. "Ella sufre en alguna parte. Siempre ha sufrido. Es muy alegre, adora el amarillo, su pájaro es el mirlo, su hora la noche, su puente el Pont des Arts." (Una pinaza color borra vino, Maga, y por qué no nos habremos ido en ella cuando todavía era tiempo.)Y mirá que apenas nos conocíamos y ya la vida urdía lo necesario para desencontrarnos minuciosamente. Como no sabías disimular me di cuenta en seguida de que para verte como yo quería era necesario empezar por cerrar los ojos, y entonces primero cosas como estrellas amarillas (moviéndose en una jalea de terciopelo), luego saltos rojos del humor y de las horas, ingreso paulatino en un mundo - Maga que era la torpeza y la confusión pero también helechos con la firma de la arena Klee, el circo Miró, los espejos de ceniza Vieira da Silva, un mundo donde te movías como un caballo de ajedrez que se moviera como una torre que se moviera como un alfil. Y entonces en esos días íbamos a los cine-clubs a ver películas mudas, porque yo con mi cultura, no es cierto, y vos pobrecita no entendías absolutamente nada de esa estridencia amarilla convulsa previa a tu nacimiento, esa emulsión estriada donde corrían los muertos; pero de repente pasaba por ahí Harold Lloyd y entonces te sacudías el agua del sueño y al final te convencías de que todo había estado muy bien, y que Pabst y que Fritz Lang. Me hartabas un poco con tu manía de perfección, con tus zapatos rotos, con tu negativa a aceptar lo aceptable. Comíamos hamburgers en el Carrefour de l'Odeon, y nos íbamos en bicicleta a Montparnasse, a cualquier hotel a cualquier almohada. Pero otras veces seguíamos hasta la Porte d'Orleans, conocíamos cada vez mejor la zona de terrenos baldíos que hay más allá del Boulevard Jourdan, donde a veces a medianoche se reunían los del club de la Serpiente pare hablar con un vidente ciego, paradoja estimulante. Dejábamos las bicicletas en la calle y nos internábamos de a poco, parándonos a mirar el cielo porque esa es una de las pocas zonas de París donde el cielo vale más que la sierra. Sentados en un montón de basuras fumábamos un rato, y la Maga me acariciaba el pelo o canturreaba melodías ni siquiera inventadas, melopeyas absurdas cortadas por suspiros o recuerdos. Yo aprovechaba para pensar en cosas inútiles, método que había empezado a practicar años atrás en un hospital y que cada vez me parecía más fecundo y necesario. Con un enorme esfuerzo, reuniendo imágenes auxiliares, pensando en olores y caras, conseguía extraer de la nada un par de zapatos marrones que había usado en Olavarría en 1940. Tenían tacos de goma, suelas muy fines, y cuando llovía me entraba el agua hasta el alma. Con ese par de zapatos en la mano del recuerdo, el resto venía solo: la cara de doña Manuela, por ejemplo, o el poeta Ernesto Morroni. Pero los rechazaba porque el juego consistía en recobrar tan solo lo insignificante, lo in ostentoso, lo perecido. Temblando de no ser capaz de acordarme, atacado por la polilla que propone la prórroga, imbécil a fuerza de besar el tiempo, terminaba por ver al lado de los zapatos una latita de Té Sol que mi madre me había dado en Buenos Aires. Y la cucharita pare el té, cuchara-ratonera donde las lauchitas negras se quemaban vivas en la taza de agua lanzando burbujas chirriantes. Convencido de que el recuerdo lo guarda todo y no solamente a las Albertinas y a las grandes efemérides del corazón y los rincones, me obstinaba en reconstruir el contenido de mi mesa de trabajo en Floresta, la cara de una muchacha irrecordable llamada Gekrepten, la cantidad de plumas cucharita que había en mi caja de útiles de quinto grado, y acababa temblando de tal manera y desesperándome (porque nunca he podido acordarme de esas plumas cucharita, sé que estaban en la caja de útiles, en un compartimiento especial, pero no me acuerdo de cuántas eran ni puedo precisar el momento justo en que debieron ser dos o seis), hasta que la Maga, besándome y echándome en la cara el humo del cigarrillo y su aliento caliente, me recobraba y nos reíamos, empezábamos a andar de nuevo entre los montones de basura en busca de los del club. Ya para entonces me había dado cuenta de que buscar era mi signo, emblema de los que salen de noche sin propósito fijo, razón de los matadores de brújulas. Con la Maga hablábamos de pata física hasta cansarnos, porque a ella también le ocurría (y nuestro encuentro era eso, y tantas cosas oscuras como el fósforo) caer de continuo en las excepciones, verse metida en casillas que no eran las de la gente, y esto sin despreciar a nadie, sin creernos Maldorores en liquidación ni Melmoths privilegiadamente errantes. No me parece que la luciérnaga extraiga mayor suficiencia del hecho incontrovertible de que es una de las maravillas más fenomenales de este circo, y sin embargo baste suponerle una conciencia para comprender que cada vez que se le encandila la barriguita el bicho de luz debe sentir como una cosquilla de privilegio. De la misma manera a la Maga le encantaban los líos inverosímiles en que andaba metida siempre por causa del fracaso de las leyes en su vida. Era de las que rompen los puentes con solo cruzarlos, o se acuerdan llorando a gritos de haber visto en una vitrina el décimo de lotería que acaba de ganar cinco millones. Por mi parte ya me había acostumbrado a que me pasaran cosas modestamente excepcionales, y no encontraba demasiado horrible que al entrar en un cuarto a oscuras para recoger un álbum de discos, sintiera bullir en la palma de la mano el cuerpo vivo de un ciempiés gigante que había elegido dormir en el lomo del álbum. Eso, y encontrar grandes pelusas grises o verdes dentro de un paquete de cigarrillos, u oír el silbato de una locomotora exactamente en el momento y el tono necesarios pare incorporarse ex oficio a un pasaje de una sinfonía de Ludwig Van, o entrar a una pissottière de la rue de Medicis y ver a un hombre que orinaba aplicadamente hasta el momento en que, apartándose de su comportamiento, giraba hacia mí y me mostraba, sosteniéndolo en la palma de la mano como un objeto litúrgico y precioso, un miembro de dimensiones y colores increíbles, y en el mismo instante darme cuenta de que ese hombre era exactamente igual a otro (aunque no era el otro) que veinticuatro horas antes, en la Salle de Géographie, había disertado sobre tótems y tabúes, y había mostrado público, sosteniéndolos preciosamente en la palma de la mano, bastoncillos de marfil, plumas de pájaro lira, monedas rituales, fósiles mágicos, estrellas de mar, pescados secos, fotografías de concubinas reales, ofrendas de cazadores, enormes escarabajos embalsamados que hacían temblar de asustada delicia a las infaltables señoras.En fin, no es fácil hablar de la Maga que a esta hora anda seguramente por Belleville o Pantin, mirando aplicadamente el suelo hasta encontrar un pedazo de género rojo. Si no lo encuentra seguirá así toda la noche, revolverá en los tachos de basura, los ojos vidriosos, convencida de que algo horrible le va a ocurrir si no encuentra esa prenda de rescate, la señal del perdón o del aplazamiento. Sé lo que es eso porque también obedezco a esas señales, también hay veces en que me toca encontrar trapo rojo. Desde la infancia apenas se me cae algo al suelo tengo que levantarlo, sea lo que sea, porque si no lo hago va a ocurrir una desgracia, no a mí sino a alguien a quien amo y cuyo nombre empieza con la inicial del objeto caído. Lo peor es que nada puede contenerme cuando algo se me cae al suelo, ni tampoco vale que lo levante otro porque el maleficio obraría igual. He pasado muchas veces por loco a causa de esto y la verdad es que estoy loco cuando lo hago, cuando me precipito a juntar un lápiz o un trocito de papel que se me han ido de la mano, como la noche del terrón de azúcar en el restaurante de la rue Scribe, un restaurante bacán con montones de gerentes, putas de zorros plateados y matrimonios bien organizados. Estábamos con Ronald y Etienne, y a mí se me cayó un terrón de azúcar que fue a parar abajo de una mesa bastante lejos de la nuestra. Lo primero que me llamó la atención fue la forma en que el terrón se había alejado, porque en general los terrones de azúcar se plantan apenas tocan el suelo por razones paralelepípedas evidentes. Pero este se conducía como si fuera una bola de naftalina, lo cual aumentó mi aprensión, y llegué a creer que realmente me lo habían arrancado de la mano. Ronald, que me conoce, miró hacia donde había ido a parar el terrón y se empezó a reír. Eso me dio todavía más miedo, mezclado con rabia. Un mozo se acercó pensando que se me había caído algo precioso, una Parker o una dentadura postiza, y en realidad lo único que hacía era molestarme, entonces sin pedir permiso me tiré al suelo y empecé a buscar el terrón entre los zapatos de la gente que estaba llena de curiosidad creyendo (y con razón) que se trataba de algo importante. En la mesa había una gorda pelirroja, otra menos gorda pero igualmente putona, y dos gerentes o algo así. Lo primero que hice fue darme cuenta de que el terrón no estaba a la vista y eso que lo había visto saltar hasta los zapatos (que se movían inquietos como gallinas). Para peor el piso tenía alfombra, y aunque estaba asquerosa de usada el terrón se había escondido entre los pelos y no podía encontrarlo. El mozo se tiró del otro lado de la mesa y ya éramos dos cuadrúpedos moviéndonos entre los zapatos-gallina que allá arriba empezaban a cacarear como locas. El mozo seguía convencido de la Parker o el Luis de oro, y cuando estábamos bien metidos debajo de la mesa, en una especie de gran intimidad y penumbra y él me preguntó y yo le dije, puso una cara que era como para pulverizarla con un fijador, pero yo no tenía ganas de reír, el miedo me hacía una doble llave en la boca del estómago y al final me dio una verdadera desesperación (el mozo se había levantado furioso) y empecé a agarrar los zapatos de las mujeres y a mirar si debajo del arco de la suela no estaría agazapado el azúcar, y las gallinas cacareaban, los gallos gerentes me picoteaban el lomo, oía las carcajadas de Ronald y de Etienne mientras me movía de una mesa a otra hasta encontrar el azúcar escondido detrás de una pata Segundo Imperio. Y todo el mundo enfurecido, hasta yo con el azúcar apretado en la palma de la mano y sintiendo como se mezclaba con el sudor de la piel, como asquerosamente se deshacía en una especie de venganza pegajosa, esa clase de episodios todos los días.

Teorema matemágico del 29

Hoy cumplo 29 inviernos...así que hoy no podré celebrar mi No-cumpleaños!

Andaba yo recapacitando sobre el número 29

cuando, de repente, lo vi claro:

Teorema del 29:

Sea N un número primo, es decir, un número

cuyos únicos divisores exactos sean N y 1. Entonces,

los números siguientes son primos:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...

Si sumamos los seis primeros términos de

la sucesión de números primos anterior:

1+2+3+5+7+ 11 = 29 !!

Esto es matemagia!!

A very merry unbirthday to you!

Vivir en una esponja de Menger

El hueco central crece

trepa y se agarra a todas las paredes de este espacio

devora el centro de los planos

y enfrenta

un agujero a otro agujero

a otro agujero

a otro agujero

a otro agujero.

Vivir en una esponja de Menger

es lo que hago en mi tiempo libre.

Laia

meta-chiste

Gödel, Chomsky y Heisenberg entran en un bar.

Heisenberg dice:

- Dado que nosotros tres estamos juntos en un bar, esto debe ser un chiste...Pero no puedo decir si hace gracia o no!

Gödel responde:

- Nosotros estamos dentro del chiste, así que es imposible para nosotros decir si tiene gracia o no. Tienes que apreciarlo desde fuera.

Y Chomski mueve la cabeza y dice:

- Por supuesto que tiene gracia! Lo que pasa es que lo estáis contando mal!

Demostración de los teoremas de Gödel para no iniciados

Encontré, vagabundeando por la red, este artículo de Claudio Gutiérrez titulado

El teorema de la incompletitud de Gödel (versión para no iniciados)

En él, hallaréis una demostración simplificada del teorema de incompletitud de Gödel junto con diversos comentarios y todas las explicaciones necesarias para que los no iniciados en el tema puedan comprender un poco más la sorprendente y revolucionaria contribución de Gödel, l' enfant terrible de las matemáticas...

También, si queréis saber un poco más sobre las inquietantes y asombrosas ideas de Kurt Gödel, podeis hacer click aquí:

http://www.filosofia-irc.org/textos/ensayos/godellemuel.html

Gödel y la incompletitud

Kurt gödel
Cargado por carlos3587




Artículo extraído de: Investigación y Ciencia, agosto, 1999: 58-63. Traducción de Luis Bou.

Gödel y los límites de la lógica

John W. Dawson, Jr.

Kurt Gödel, genio de la matemática, se consagró en su obra a la racionalidad. Paradojas de la vida, tuvo que luchar con ésta en su intimidad.


Ante el encerado, Kurt Gödel tiene un aspecto formal, reservado y un tanto desnutrido. Pero ni ese rostro ni los escritos han calado en el público, si exceptuamos un puñado de filósofos y lógicos-matemáticos. De sus teoremas de completitud derivan consecuencias decisivas para los fundamenteos de las matemáticas y de las ciencias de la computación. Su peripecia vital y su obra responden a una tenaz búsqueda de la racionalidad en todo. Un ansia que deja al descubierto el trasfondo recurrente de una inestabilidad mental.

Gödel demostró que los métodos matemáticos aceptados desde tiempos de Euclides eran inadecuados para descubrir todas las verdades relativas a los números naturales. Su descubrimiento minó los fundamentos sobre los que se había construido la matemática hasta el siglo XX, acicateó a los pensadores para buscar otras posibilidades y engendró un vivaz debate sobre la naturaleza de la verdad. Las innovadoras técnicas de Gödel, aplicables sin dificultad en algoritmos de cómputo, echaron también los cimientos de las ciencias de computación modernas.
Nacido el 28 de abril de 1906 en Brno, ciudad de Moravia, Gödel fue el menor de los dos hijos de Rudolf y Marianne Gödel, expatriados alemanes cuyas familias estuvieron asociadas con la industria textil de la ciudad. Entre los antepasados de Gödel no encontramos profesores ni intelectuales; la educación de su padre no fue más allá de estudios de comercio. Pero Rudolf Gödel, ambicioso y tenaz, logró salir adelante, llegando a director gerente primero, y a copropietario más tarde, de una de las grandes fábricas de hiladuras de Brno. Ganó dinero suficiente para comprar una casa en uno de los barrios elegantes y enviar a sus hijos a escuelas privadas de habla alemana. Los chicos lograron excelentes resultados en sus estudios.
En toda su trayectoria escolar, primaria y secundaria, sólo una vez recibió Kurt una calificación inferior a la máxima en una asignatura (¡en matemáticas!). Pero no mostraba signos precoces de genialidad. Era un niño inquisitivo, tanto, que fue apodado der Herr Warum ("el señor Por qué"); también, introvertido, sensible y enclenque. A eso de los ocho años contrajo unas fiebres reumáticas. Aunque al parecer no le dejaron secuelas duraderas, le mantuvieron apartado de la escuela por algún tiempo; quizás alentaron su enfermiza preocupación por la salud y la dieta, que se fue reforzando con los años.


En 1924, tras graduarse en el Realgymnasium, una escuela técnica de Brno, Gödel abandonó su país natal para matricularse en la Universidad de Viena. A ese centro había acudido, cuatro años antes, su hermano para estudiar medicina. La economía vienesa se encontraba por entonces en ruinas. La universidad, empero, retenía su viejo esplendor. Gracias a ella, a pesar de las privaciones materiales, Viena dio cobijo en el período de entreguerras a un impresionante florecimieto de las ciencias, las artes y la filosofía.



Gödel ingresó en la universidad con la intención de seguir la carrera de física. Pero al poco, impresionado por las lecciones de los profesores Philipp Furtwängler y Hans Hahn, se orientó hacia la matemática. Muy pronto destacó por su talento. A los dos años de su matriculación fue invitado a asistir a las sesiones de un seminario de debates que Hahn y el filósofo Moritz Schlick habían fundado dos años antes. El grupo, que llegaría a ser famoso con el nombre de Círculo de Viena, se inspiraba en los escritos de Ernst Mach, un campeón del racionalismo, convencido de que todas las cosas podían explicarse mediante la lógica y la observación empírica, sin recurrir a entidades metafísicas.

El Círculo puso a Gödel en contacto con Rudolf Carnap, filósofo de la ciencia, y Karl Menger, matemático. Le ayudó a familiarizarse con la bibliografía de la lógica matemática y de la filosofía. En particular, el Círculo se hallaba enfrascado en los escritos de Ludwig Wittgenstein, cuya preocupación por el metalenguaje (en qué medida el lenguaje puede hablar acerca del lenguaje) pudo haber inducido a Gödel a sondear cuestiones similares en matemática. Algunos de los miembros del Círculo, entre ellos Carnap, Hanh y el físico Hans Thirring, estaban investigando los fenómenos parapsicológicos, asunto por el que también Gödel mostraba agudo interés. (Años más tarde, Gödel le haría notar a un amigo íntimo, el economista Oskar Morgenstern, que en el futuro sería tenido por fenómeno extraño que los científicos del siglo XX hubieran descubierto las partículas físicas elementales y ni siquiera se les hubiera ocurrido considerar la posibilidad de factores psíquicos elementales.)

Gödel, sin embargo, no compartía la visión positivista del Círculo de Viena, que desarrolló y generalizó las ideas de Mach. Era, por contra, un platónico, convencido de que, además del mundo de los objetos, existe un mundo de los conceptos al que los humanos tienen acceso por intuición. Para él, un enunciado debía tener un "valor de verdad" bien definido -ser verdadero o no serlo- tanto si había sido demostrado como si era susceptible de ser refutado o confirmado empíricamente. Desde su propio punto de vista, tal filosofía constituía una ayuda para su excepcional penetración en las matemáticas.

Aunque Gödel era un observador atento y muy lúcido, rara vez contribuía a las discusiones del Círculo, a menos que tratasen de matemáticas. Tímido y reservado, tenía pocos amigos íntimos. (Le agradaba, sin embargo la compañía femenina y, según parece, las mujeres le encontraban francamente atractivo.) Después de 1928 sólo en raras ocasiones asistía a las reuniones del grupo; en cambio, participaba activamente en un coloquio matemático organizado por Menger. Las actas del coloquio se publicaban en un anuario, que Gödel ayudaba a redactar, y al que posteriormente habría de contribuir con más de una docena de artículos.





Durante este período, Gödel adquirió súbitamente estatura internacional en lógica matemática. Dos fueron, en particular, las publicaciones responsables de su prominencia. Una de ellas, su tesis doctoral, presentada en Viena en 1929, y publicada al año siguiente. La otra, su tratado "Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines", publicada en alemán en su Habilitationsschrift (la memoria de cualificación para el ejercicio de la docencia universitaria) en 1932.

En su tesis doctoral, "La completitud de los axiomas del cálculo funcional de primer orden", resolvía un problema pendiente, que David Hilbert y Wilhelm Ackermann habían planteado en un libro que escribieron conjuntamente en 1928, Grundzüge der theoretischen Logik ("Fundamentos de la Lógica Teórica"). La cuestión consitía en si las reglas al uso, enunciadas en el libro, para la manipulación de expresiones que contengan conectivas lógicas ("y", "o", y similares) y cuantificadores ("para todo" y "existe", aplicadas a variables que recorren números o conjuntos) permitirían, adjuntados a los axiomas de una teoría matemática, la deducción de todas y sólo todas las proposicioes que fueran verdaderas en cada estructura que cumpliera los axiomas. En lenguaje llano, ¿sería realmente posible demostrar todo cuanto fuera verdadero para todas las interpretaciones válidas de los símbolos?

Se esperaba que la respuesta fuese afirmativa, y Gödel confirmó que así era. Su disertación estableció que los principios de lógica desarrollados hasta aquel momento eran adecuados para el propósito al que estaban destinados, que consistía en demostrar todo cuanto fuera verdadero basándose en un sistema dado de axiomas. No demostraba, sin embargo, que todo enunciado verdadero referente a los números naturales pudiera demostrarse a partir de los axiomas aceptados de la teoría de los números.

Entre dichos axiomas, propuestos por el matemático italiano Giuseppe Peano en 1899, figura el principio de inducción. Este axioma afirma que cualquier propiedad que sea verdadera para el número cero, y que se cumpla para el número natural n+1 siempre que sea verdadera para n, tiene que ser verdadera para todos los números naturales. El axioma, al que algunos llaman "principio dominó" -porque si cae el primero, caerán derribados todos los demás- podría parecer evidente por sí mismo. Sin embargo, los matemáticos lo encontraron problemático, porque no se circunscribe a los números propiamente dichos, sino a propiedades de los números. Se consideró que tal enunciado de "segundo orden" era demasiado vago y poco definido para servir de fundamento a la teoría de los números naturales.

Por tal motivo, se refundió el axioma de inducción y se le dio la forma de un esquema infinito de axiomas similares concernientes a fórmulas específicas, en vez de referirse a propiedades generales de los números. Pero estos axiomas ya no caracterizan unívocamente los números naturales, como demostró el lógico noruego Thoralf Skolem algunos años antes del trabajo de Gödel: existen también otras estructuras que los satisfacen.

El teorema de completitud de Gödel enuncia que es posible demostrar todos aquellos enunciados que se siguen de los axiomas. Existe, sin embargo, una dificultad: si algún enunciado fuese verdadero para los números naturales, pero no lo fuese para otro sistema de entidades que también satisface los axiomas, entonces no podría ser demostrado. Ello no parece constituir un problema serio, porque los matemáticos confiaban en que no existieran entidades que se disfrazasen de números para diferir de ellos en aspectos esenciales. Por este motivo, el teorema de Gödel que vino a continuación provocó auténtica conmoción.

En su artículo de 1931, Gödel demostraba que ha de existir algún enunciado concerniente a los números naturales que es verdadero, pero no puede ser demostrado. (Es decir, que existen objetos que obedecen a los axiomas de la teoría de números y, no obstante, en otros aspectos dejan de comportarse como números.) Se podría eludir este "teorema de incompletitud" si todos los enunciados verdaderos fueran tomados como axiomas. Sin embargo, en ese caso, la decisión de si ciertos enunciados son verdaderos o no se torna problemática a priori. Gödel demostró que siempre que los axiomas puedan ser caracterizados por un sistema de reglas mecánicas, resulta indiferente cuáles sean los enunciados tomados como axiomas. Si son verdaderos para los números naturales, algunos otros enunciados verdaderos acerca de los números naturales seguirán siendo indemostrables.

En particular, si los axiomas no se contradicen entre sí, entonces, ese hecho mismo, codificado en enunciado numérico, será "formalmente indecidible" -esto es, ni demostrable ni refutable- a partir de dichos axiomas. Cualquier demostración de consistencia habrá de apelar a principios más fuertes que los propios axiomas.

Este último resultado apenó muchóisimo a Hilbert, quien había contemplado un programa para fijar los fundamentos de las matemáticas por medio de un proceso "autoconstructivo", mediante el cual la consistencia de teorías matemáticas complejas pudiera deducirse de la consistencia de más sencillas y evidentes. Gödel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletitud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que hacían ver que la deducción de teoremas no pueden mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática.

Los conceptos y los métodos introducidos por Gödel en su artículo sobre la incompletitud desempeñan un papel central en la teoría de recursión, que subyace a toda la informática moderna. Generalizaciones de sus ideas han permitido la deducción de diversos otros resultados ralativos a los límites de los procedimientos computacionales. Uno de ellos es la irresolubilidad del "problema de la detención", que consiste en decidir, para un ordenador arbitrario provisto de un programa y de unos datos arbitrarios, si llegará a detenerse o si quedará atrapado en un bucle infinito. Otro es la demostración de que ningún programa que no altere el sistema operativo de un ordenador será capaz de detectar todos los programas que sí lo hagan (virus).

Gödel pasó el año académico 1933-34 en Princeton, en el recién fundado Instituto de Estudios Avanzados, donde disertó sobre sus resultados de incompletitud. Fue invitado a volver al año siguiente, pero al poco de regresar a Viena sufrió una grave crisis mental. Se recuperó a tiempo para retornar a Princeton en el otoño de 1935; al mes de su llegada sufrió una recaída, y no volvió a impartir enseñanza hasta la primavera de 1937, en Viena.

Por ser confidencial el historial médico de Gödel, la diagnosis de su mal sigue siendo desconocida. Sus problemas parecen haber comenzado con hipocondría: estaba obsesionado por su dieta y por sus hábitos intestinales. Durante veinte años llevó un registro diario de su temperatura corporal y de su consumo de leche de magnesia. Temía sufrir un envenamiento accidental; con los años, le aterraba ser objeto de una intoxicación deliberada. Esta fobia le llevó a no querer tomar alimentos, con la consiguiente desnutrición. Lo que no le impedía ingerir píldoras de diversa condición para un imaginario problema cardíaco.

Salvo en los problemas de crisis, los problemas mentales de Gödel entorpecieron muy poco su trabajo. La persona que le mantuvo en activo fue Adele Porkert, a quien conoció en un local nocturno de Viena durante sus años de estudiante. Porkert, seis años mayor que Gödel, católica y divorciada, con el rostro desfigurado por una "flor" de nacimiento, trabajaba de bailarina. Los padres de Gödel la tenían por motivo de escándalo. Pero ellos no desmayaron en su mutuo afecto, y más de una vez, sirviéndole de catadora de alimentos, Adele contribuyó a paliar los temores de Gödel, cada vez más fuertes, de que buscaban envenenarle. Tras un largo noviazgo, se casaron en septiembre de 1938, justo antes de que Gödel retornase a los EEUU, donde disertó en el Instituto de Estudios Avanzados y en la Universidad de Notre Dame sobre los apasionantes resultados que había obtenido en teoría de conjuntos.

Tal logro entrañaba la resolución de algunos de los aspectos más controvertidos de la teoría de colecciones de objetos. A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor había introducido la noción de tamaño ("cardinal") para conjuntos infinitos. Según tal concepto, un conjunto A tiene menor cardinal que un conjunto B si, cualquiera que seal la forma en que a cada elemento de A otro le sea asigado en B, quedan siempre elementos de B que no tienen correspondiente. Valiéndose de esta noción, Cantor demostró que el conjunto de los números naturales es menor que el conjunto de todos los números reales (el conjunto de todos los números decimales). Cantor conjeturó también que entre un conjunto y otro no existen conjuntos de tamaño intermedio, enunciado que llegó a ser conocido como la hipótesis del continuo.

En 1908, Ernst Zermelo, formuló una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Entre ellos se encontraba el teorema de elección, el cual (en una de sus versiones) afirma que dada una colección infinita de conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos un elemento, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos de la colección. Aunque su aspecto parece incuestionable -¿por qué no habríamos de ser capaces de extraer un elemento de cada conjunto?- el axioma de elección entraña una multitud de consecuencias contrarias a la intuición. De él se deduce, por ejemplo, la posibilidad de descomponer una esfera en un número finito de piezas, que separadas y vueltas a ensamblar aplicando tan sólo movimientos rígidos, forme una nueva esferea de volumen doble que la primera.

El axioma de elección desencadenó la polémica. Los matemáticos sospechaban -correctamente, como luego se vería- que ni el axioma de elección ni la hipótesis del continuo podían deducirse de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Y temían que las demostraciones fundadas en dichos principios pudieran generar contradicciones. Gödel, sin embargo, demostró que ambos principios eran coherentes con los restantes axiomas.

Los resultados de Gödel en teoría de conjuntos resolvieron una de las cuestiones que Hilbert había planteado en 1900 en una alocución célebre pronunciada en el Congreso Internacional de Matemáticas. Sólo por ello constituían un gran logro; no bastaron, empero, para asegurarle un puesto académico permanente. Durante el año que pasó en el Instituto de Estidos Avanzados y en Notre Dame, expiró su autorización para la docencia en las universidades austríacas. Y cuando volvió a Viena para reunirse con su esposa, en el verano de 1939, fue reclamado para un reconocimiento médico militar y declarado apto para el servicio en las fuerzas armadas nazis.
Hasta entonces, Gödel parecía haber permanecido indiferente ante los pavorosos acontecimientos que se estaban produciendo en Europa. Aunque interesado por la política, e informado de los acontecimientos, permaneció curiosamente insensible ante ellos. Su falta de compromiso con sus semejantes pudo haberle impedido apreciar la gravedad de lo que estaba ocurriendo. Parecía ajeno a la suerte que estaban corriendo sus colegas y sus profesores, judíos muchos de ellos, y siguió sumido en su trabajo mientras el mundo que le rodeaba se hacía pedazos. Por fin, acabó comprendiendo que con el mundo que se hundía también se estaba hundiendo él.

En aquella situación desesperada, sin empleo y a punto de ser reclutado, solicitó el apoyo del Instituto de Estudios Avanzados para que le ayudaran a obtener visados de salida para sí mismo y para su mujer. Sus esfuerzos tuvieron éxito. En enero de 1940 ambos emprendieron un largo viaje hacia el este en el ferrocarril transiberiano. Desde Yokohama continuaron por barco hasta San Francisco. Llegaron a Princetona mediados de marzo.

Gödel ya no volvería a salir de los EEUU. Tras una serie de nombramientos anuales se le admitió como miembro permanente del claustro en 1946. Dos años después obtuvo la ciudadanía estadounidense. (En aquella ocasión, el juez que le tomó juramento cometió el desafortunado error de pedirle su opinión sobre la Constitución de los EEUU, y desencadenó como respuesta una disertación en toda regla sobre sus contradicciones.) Pero Gödel no fue ascendido a catedrático hasta 1953, el mismo año en que fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias. Tal demora se debió, en parte, a las dudas que planteaba su estabilidad mental con sus constantes temores sobre posibles emanaciones de gases tóxicos en su refrigerador. Durante aquellos años, su amigo Albert Einstein se preocupó de Gödel lo más que pudo; todos los días daban un paseo.

Tras su emigración a los EEUU, abandonó el trabajo en teoría de conjuntos y se orientó hacia la filosofía y hacia la teoría de la relatividad. En 1949 demostró que eran compatibles con las ecuaciones de Einstein universos donde se pudiera viajar retrógradamente en el tiempo. En 1950 disertó sobre estos resultados en el Congreso Internacional de Matemáticos, y al año siguiente pronunció la prestigiosa Disertación Gibbs en la asamblea anual de la Sociedad Matemática Americana. Pero en el intervalo entre estas dos intervenciones públicas estuvo a punto de morir por una úlcera sangrante, que descuidó hasta un estadio peligrosamente avanzado, tal era la desconfianza que sentía hacia los médicos.
El último de sus artículos publicados en vida apareció en 1958. Después, se sumió en la introversión, cada vez más demacrado, paranoide e hipocondríaco. Su última aparición pública aconteció en 1972, al recibir un doctorado honorífico por la Universidad Rockefeller. Tres años después le fue otorgada la Medalla Nacional de Ciencias, pero Gödel disculpó su asistencia por razones de salud.

El 1 de julio de 1976, alcanzados los 70 años, edad de jubilación obligatoria, Gödel se convirtió en profesor emérito de Instituto. Sus responsabilidades empero no disminuyeron, porque su esposa, que durante tantos años le había alimentado y protegido, había sufrido pocos meses antes un ataque cardíaco que la dejó inválida. Ahora le correspondía a él cuidarla. Y así lo hizo, con devoción, hasta julio de 1977, cuando ella hubo de someterse a una operación de urgencia y permaneció hospitalizada durante casi seis meses.

Por aquellas fechas, Morgenstern, el amigo que había contribuido a cuidar de Gödel tras fallecer Einstein en 1955, murió de cáncer. Gödel tuvo entonces que luchar por sí solo contra su cada vez más acusada paranoia. Solo frente a ella, su declive entró en barrena. Temeroso de ser envenenado dejó de comer y acabó muriendo por desnutrición el 14 de enero de 1978.
Gödel publicó excepcionalmente pco en vida -menos que ninguno de los otros grandes matemáticos, si se exceptúa a Bernhard Riemann-, pero la influencia de sus escritos ha sido enorme. Sus trabajos han afectado prácticamente a todas las ramas de lógica moderna. Durante el decenio pasado, otros artículos suyos han sido traducidos desde la obsoleta taquigrafía alemana que él utilizaba, y publicados póstumamente en el tercer volumen de sus Collected Works. Sus contenidos, entre los que figura su formalización del argumento ontológico de la existencia de Dios, han empezado también a llamar la atención.

John W. Dawson, Jr. es doctor en lógica y profesor de matemáticas en la Universidad estatal de Pennsylvania en York. Tiene a su cargo la coedición de las obras de Kurt Gödel.

1+1=1

Dicen las malas lenguas que en el mundo existen 10 clases de personas: las que saben contar en binario

y las que no.

Tanto si pertenecéis a la primera clase de personas como si estáis deseosos de aprender a contar usando exclusivamente ceros y unos, estáis de suerte con este juego! En un lugar de la web (cuyo código binario no puedo recordar) encontré esta simpática y endiabladamente difícil versión del clásico Tetris. En lugar de piezas, pero, ahora tendréis que eliminar filas de ceros y unos escribiendo su valor en código decimal o traduciendo los números a código binario. Que la fuerza (y el álgebra de Boole) os acompañe!

( Haz click sobre la imagen, intrépido calculador!)

Paradojas

En este momento
estoy mintiendo

La décima palabra

de esta frase

tiene ocho letras.

de + y de -

Te echo de menos... matemática!

Let be a nonarchimedean absolute value on the field K. Let A be the corresponding
valuation ring, defined as {x ∈ K : x ≤ 1}, and P the valuation ideal {x ∈ K : x < u ="1." x ="1," 1 ="1," 1 =" 1" u ="1." uv ="1," v ="1." u ="1," 1 ="1." x ="0" x ="1,"> 1, or x > 1 and x−1 <>

Geometrías imposibles: botellas de Klein

Dejamos a Euclídes atrás por un rato, cerramos los ojos y desintegramos los puntos, las rectas, los planos, los cuerpos de volumen perfecto. La esfera, el cubo, los poliedros, ... todos ellos quedan atrás ya a estas alturas del camino. Todo se retuerce, se dobla, se hunde sobre sí mismo...perdimos el arriba-y-abajo y el dentro-y-fuera, el norte perdimos y perdimos la orientación. En el país al que viajo, viven las cintas de Moebius y las botellas de Klein y la distancia más corta entre dos puntos es una curva o algo peor...

Botella de Klein

A mathematician named Klein
Thought the Möbius band was devine
Said he, "If you glue
The edges of two,
You’ll get a weird bottle like mine".

(Un matemático llamado Klein
Pensó que la banda de Möbius era divina
Dijo él: "Si tu pegas
Los bordes de dos,
Obtendrías una extraña botella como la mía.)

y, finalmente, tres botellas de Klein unidas...

más fractales...

¡Gracias, señor Youtube, por todos estos documentales que cada día me das!

MAS POR MENOS: Fractales, geometria del caos 1/3



MAS POR MENOS: Fractales, geometria del caos 2/3



MAS POR MENOS: Fractales, geometria del caos 3/3

Extraños atractores

ordenddjacvñdlñlcoaosocofodoacovfndfjovgnfkaoocaosndfgsdiosovfioredbnoacoorednoafmvnczxdsakdlfjdflkasdajsldskjordendxfdcdklcklsdcjldfjljljadkjslkajlccaoskdsflklfjsdkfdrljelsdkfdlfjdlvfkdlfjwepofsdfgoporedenjfsdlfjsljeosdjfopfjposfosdifsdfiopdsfdpsoidpasoioicaosdfopstortieirepotiwefddlfkgdopgsdfosdfordencaosordencaosodrnedsodacoedddfjskldjkfgdjfslvcvklnbvvqwrtooisdpfdpofocxvmsdfsñdfldasñsdñldñaordencasoscaosordenordnrednorednreodoeroedoereondsnoenrondosdneonofgsdodasneroenocnsondroeodsnodasorenorne...

¿¿Orden o caos??

Universo matemático: Orden en el caos


Parte 1/1



Parte 2/2

Zoom de una esquina del fractal de Mandelbrot

El atractor extraño

cuenta-cuentos matemáticos y n+1 chistes...

Resulta que un día las funciones montan una fiesta. Estaban todas, la seno se tomaba unas cervezas con la tangente, la logarítmica bailaba con la racional… Entonces descubren que la función exponencial estaba en un rincón. La coseno se acerca y le dice: “¿Pero qué haces ahí? Venga, intégrate”. A lo que la exponencial responde: (Y ahora viene el chiste) “¿Para qué? Si va a dar lo mismo”.

Estaba Jesucristo con sus apóstoles y comienza a recitar “Equis al cuadrado más tres equis más cientocincuenta y cinco igual a y...” San Pablo, extrañado como sus compañeros, pregunta:

-Maestro, ¿Qué quiere decir con esas palabras?

A lo que Jesucristo responde:

- Es una parábola, hijo mío, una parábola...

ROMANCE DE LA DERIVADA Y EL ARCOTANGENTE

Veraneaba una derivada enésima en un pequeño chalet situado en la recta del infinito del plano de Gauss, cuando conoció a un arcotangente simpatiquísimo y de espléndida representación gráfica, que además pertenecía a una de las mejores familias trigonométricas.

En seguida notaron que tenían propiedades comunes.

Un día, en casa de una parábola que había ido a pasar allí una temporada con sus ramas alejadas, se encontraron en un punto aislado de ambiente muy íntimo. Se dieron cuenta de que convergían hacia límites cuya diferencia era tan pequeña como se quisiera. Había nacido un romance. Acaramelados en un entorno de radio épsilon, se dijeron mil teoremas de amor.

Cuando el verano paso, y las parábolas habían vuelto al origen, la derivada y el arcotangente eran novios. Entonces empezaron los largos paseos por las asíntotas siempre unidos por un punto común, los interminables desarrollos en serie bajo los conoides llorones del lago, las innumerables sesiones de proyección ortogonal.

Hasta fueron al circo, donde vieron a una troupe de funciones logarítmicas dar saltos infinitos en sus discontinuidades. En fin, lo que eternamente hacían los novios.

Durante un baile organizado por unas cartesianas, primas del arcotangente, la pareja pudo tener el mismo radio de curvatura en varios puntos. Las series melódicas eran de ritmos uniformemente crecientes y la pareja giraba entrelazada alrededor de un mismo punto doble. Del amor había nacido la pasión. Enamorados locamente, sus gráficas coincidían en más y más puntos.

Con el beneficio de las ventas de unas fincas que tenia en el campo complejo, el arcotangente compro un recinto cerrado en el plano de Riemann. En la decoración se gasto hasta el ultimo infinitésimo. Adorno las paredes con unas tablas de potencias de "e" preciosas, puso varios cuartos de divisiones del termino independiente que costaron una burrada.

Empapeló las habitaciones con las gráficas de las funciones mas conocidas, y puso varios paraboloides de revolución chinos de los que surgían desarrollos tangenciales en flor. Y Bernouilli le presto su lemniscata para adornar su salón durante los primeros días. Cuando todo estuvo preparado, el arcotangente se traslado al punto impropio y contemplo satisfecho su dominio de existencia.

Varios días después fue en busca de la derivada de orden n y cuando llevaban un rato charlando de variables arbitrarias, le espeto, sin mas:

- Por que no vamos a tomar unos neperianos a mi apartamento? De paso lo conocerás, ha quedado monísimo.

Ella, que le quedaba muy poco para anularse, tras una breve discusión del resultado, aceptó.

El novio le enseño su dominio y quedo integrada. Los neperianos y una música armónica simple, hicieron que entre sus puntos existiera una correspondencia unívoca. Unidos así, miraron al espacio euclídeo. Los astroides rutilaban en la bóveda de Viviany... Eran felices!

- No sientes calor? - dijo ella

- Yo si. Y tu?

- Yo también.

- Ponte en forma canónica, estarás mas cómoda.

Entonces el le fue quitando constantes. Después de artificiosas operaciones la puso en paramétricas racionales...

- Que haces? Me da vergüenza... - dijo ella

- Te amo, yo estoy inverso por ti...! Déjame besarte la ordenada en el origen...! No seas cruel...! ven...! Dividamos por un momento la nomenclatura ordinaria y tendamos juntos hacia el infinito...

El la acaricio sus máximos y sus mínimos y ella se sintió descomponer en fracciones simples.

(Las siguientes operaciones quedan a la penetración del lector)

Al cabo de algún tiempo la derivada enésima perdió su periodicidad. Posteriores análisis algebraicos demostraron que su variable había quedado incrementada y su matriz era distinta de cero.

Ella le confeso a el, saliéndole los colores:

- Voy a ser primitiva de otra función.

El respondió:

- Podríamos eliminar el parámetro elevando al cuadrado y restando.

- Eso es que ya no me quieres!

- No seas irracional, claro que te quiero. Nuestras ecuaciones formaran una superficie cerrada, confía en mi.

La boda se preparo en un tiempo diferencial de t, para no dar que hablar en el circulo de los 9 puntos.

Los padrinos fueron el padre de la novia, un polinomio lineal de exponente entero, y la madre del novio, una asiroide de noble asíntota.

La novia lucia coordenadas cilíndricas de Satung y velo de puntos imaginarios.

Oficio la ceremonia Cayley, auxiliado por Pascal y el nuncio S.S. monseñor Ricatti.

Hoy día el arcotangente tiene un buen puesto en una fabrica de series de Fourier, y ella cuida en casa de 5 lindos términos de menor grado, producto cartesiano de su amor.

(Texto extraído de algún número de la revista de la ETS de Ingenieros Industriales de Madrid, allá por el año 1990. Firmado: "La jaca jacobiana")

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...n, n+1,...

El número phi, la divina proporción

Mathametical pie (canción para el número pi)

singing pi

Fibonacci en South Park





Las 4 dimensiones

una rosa es una rosa es una rosa es una rosa es...

Una rosa es una rosa es una rosa es una rosa es... dijo Gertrude Stein hace tiempo. Con este juego de palabras lanzó a los vocablos de cabeza hacia el mundo fractal. ¡Ah!¡Los fractales fatales! ¡Ese mundo dentro de otro mundo dentro de otro mundo! ¡Hermosas criaturas de la naturaleza, las infinitas repeticiones. Como si de una broma de la existencia se tratara, el ciclo infinito dentro del ciclo infinito acecha y se camufla tras las cosas más banales; las nervaduras de una hoja, los brotes de coliflor, el romanescu, el universo, los perfectos copos de nieve, la orografía, las nubes de algodón, las líneas de la palma de la mano, los Mandelbrot y los conjuntos de Julia... Encontré estos tres vídeos entre la red fractal de internet para los que qieran saber algo más sobre estas bellas criaturas de la iteración, ¡Disfrutadlos!

Documental sobre los fractales emitido en Redes

Entrevista de Eduard Punset a Benoît Mandelbrot

Viaje a través de un fractal de Mandelbrot...

Y se hizo la luz...

Los campos electromagnéticos según Maxwell...

Jaque mate

Por si a alguien le pica la curiosidad, colgaré este enlace a un artículo titulado El ajedrez, espejo de la vida. En él, encontraréis una breve pero minuciosa disertación sobre el origen y la evolución histórica del ajedrez, el fuerte simbolismo del juego y la influencia del ajedrez en el arte. A continuación, el ensayo deriva hacia un ámbito más específico y se adentra en un análisis sobre la aparición del ajedrez en las obras gráficas de Escher y en los universos literarios de Lewis Carroll, Julio Cortázar y Borges. ¡Que aproveche!